Matris sıralaması: tanım, bulma yöntemleri

Bu yayında, bir matrisin rankının tanımını ve bunun bulunabileceği yöntemleri ele alacağız. Teorinin pratikte uygulanmasını göstermek için örnekleri de analiz edeceğiz.

Bir matrisin sırasını belirleme

matris sıralaması satır veya sütun sisteminin sıralamasıdır. Herhangi bir matrisin birbirine eşit olan satır ve sütun sıraları vardır.

Sıra sistemi sıralaması maksimum lineer bağımsız satır sayısıdır. Sütun sisteminin rankı da benzer şekilde belirlenir.

Notlar:

• Sıfır matrisinin sırası (“sembolü ile gösterilir”θ“) herhangi bir boyutta sıfırdır.
• Sıfır olmayan herhangi bir satır vektörünün veya sütun vektörünün rankı bire eşittir.
• Herhangi bir boyuttaki bir matris sıfıra eşit olmayan en az bir eleman içeriyorsa, rankı birden az değildir.
• Bir matrisin rankı, minimum boyutundan büyük değildir.
• Bir matris üzerinde gerçekleştirilen temel dönüşümler, sırasını değiştirmez.

Bir matrisin rankını bulma

Fringing Minör Yöntemi

Bir matrisin rankı, sıfır olmayanın maksimum mertebesine eşittir.

Algoritma aşağıdaki gibidir: en düşük siparişten en yükseğe kadar küçükleri bulun. küçük ise ninci sıra sıfıra eşit değildir ve sonraki tüm (n+1) 0'a eşittir, bu nedenle matrisin sırası n.

Örnek E-posta

Daha açık hale getirmek için, pratik bir örnek alalım ve matrisin sırasını bulalım. A aşağıda, reşit olmayanları sınırlama yöntemini kullanarak.

Çözüm

4 × 4'lük bir matrisle karşı karşıyayız, bu nedenle rankı 4'ten büyük olamaz. Ayrıca matriste sıfır olmayan elemanlar var, yani rankı birden az değil. O halde başlayalım:

1. Kontrol etmeye başlayın ikinci dereceden küçükler. Başlamak için, birinci ve ikinci sütunların iki satırını alıyoruz.

Küçük, sıfıra eşittir.

Bu nedenle, bir sonraki küçüğe geçiyoruz (ilk sütun kalıyor ve ikincisi yerine üçüncüyü alıyoruz).

Minör 54≠0'dır, bu nedenle matrisin sırası en az ikidir.

Not: Bu minör sıfıra eşit olursa, aşağıdaki kombinasyonları da kontrol ederiz:

Gerekirse, numaralandırmaya aynı şekilde dizelerle devam edilebilir:

• 1 ve 3;
• 1 ve 4;
• 2 ve 3;
• 2 ve 4;
• 3 ve 4.

Tüm ikinci dereceden minörler sıfıra eşit olsaydı, matrisin rankı bire eşit olurdu.

2. Hemen bize uygun bir reşit olmayanı bulmayı başardık. hadi devam edelim üçüncü dereceden küçükler.

Sıfır olmayan bir sonuç veren ikinci mertebeden bulunan minöre bir satır ve yeşille vurgulanan sütunlardan birini ekleriz (ikincisinden başlarız).

Minör sıfır çıktı.

Bu nedenle, ikinci sütunu dördüncü olarak değiştiriyoruz. Ve ikinci denemede sıfıra eşit olmayan bir minör bulmayı başardık, bu da matrisin rankının 3'ten küçük olamayacağı anlamına geliyor.

Not: sonuç ikinci sıra yerine tekrar sıfır çıkarsa, dördüncü sırayı daha ileri götürür ve “iyi” bir minör arayışına devam ederdik.

3. Şimdi belirlemek için kalır dördüncü dereceden küçükler daha önce bulunanlara dayanarak. Bu durumda, matrisin determinantı ile eşleşendir.

Küçük eşittir 144≠0. Bu, matrisin rankının A 4'e eşittir.

Bir matrisin basamaklı forma indirgenmesi

Bir adım matrisinin sırası, sıfır olmayan satırlarının sayısına eşittir. Yani tek yapmamız gereken matrisi uygun forma getirmek, örneğin yukarıda bahsettiğimiz gibi rankını değiştirmeyen kullanarak.

Örnek E-posta

Bir matrisin sırasını bulun B aşağıda. Aşırı karmaşık bir örnek almıyoruz, çünkü asıl amacımız sadece yöntemin pratikteki uygulamasını göstermek.

Çözüm

1. İlk önce, ikinci satırdan ikiye katlananı çıkarın.

2. Şimdi ilk satırı üçüncü satırdan dörde çarparak çıkarın.

Böylece sıfır olmayan satırların sayısının ikiye eşit olduğu, dolayısıyla sırasının da 2 olduğu bir adım matrisi elde ettik.