Bir fonksiyonun limiti nedir?

Bu yayında, matematiksel analizin ana kavramlarından biri olan bir fonksiyonun limitini ele alacağız: tanımı ve pratik örneklerle çeşitli çözümler.

Bir fonksiyonun limitini belirleme

fonksiyon sınırı – argümanı sınır noktasına yaklaştığında bu fonksiyonun değerinin yöneldiği değer.

Sınır kaydı:

• sınır simgeyle belirtilir lim;
• aşağıya, işlevin bağımsız değişkeninin (değişkeninin) hangi değere eğilimli olduğu eklenir. Genellikle bu x, ancak zorunlu olarak değil, örneğin:x→1";
• sonra işlevin kendisi sağ tarafa eklenir, örneğin:

  

Böylece, limitin son kaydı şöyle görünür (bizim durumumuzda):

gibi okur “x birliğe meyilli olduğu için fonksiyonun limiti”.

x→ 1 – bu, “x”in sürekli olarak birliğe sonsuz yaklaşan, ancak onunla asla örtüşmeyecek (ulaşılmayacak) değerleri üstlendiği anlamına gelir.

Karar sınırları

Belirli bir sayı ile

Yukarıdaki limiti çözelim. Bunu yapmak için, sadece fonksiyondaki birimi değiştirin (çünkü x→1):

Bu nedenle, limiti çözmek için önce verilen sayıyı altındaki fonksiyona koymaya çalışırız (eğer x belirli bir sayıya eğilimliyse).

sonsuzluk ile

Bu durumda, fonksiyonun argümanı sonsuz olarak artar, yani, "X" sonsuza (∞) eğilimlidir. Örneğin:

If x→∞, o zaman verilen fonksiyon eksi sonsuz (-∞) olma eğilimindedir, çünkü:

• 3 - 1 = 2
• 3-10 = -7
• 3-100 = -97
• 3 – 1000 – 997 vb.

Daha karmaşık bir örnek daha

Bu limiti çözmek için de değerleri arttırmanız yeterlidir. x ve bu durumda işlevin "davranışına" bakın.

• RџСўРё x = 1, y = 1² + 3 · 1 – 6 = -2
• RџСўРё x = 10, y = 10² + 3 · 10 – 6 = 124
• RџСўРё x = 100, y = 100² + 3 · 100 – 6 = 10294

Böylece, "X"sonsuza eğilim, fonksiyon x² +3x –6 süresiz büyür.

Belirsizlikle (x sonsuzluğa eğilimlidir)

Bu durumda, fonksiyon bir kesir olduğunda, payı ve paydası polinom olan sınırlardan bahsediyoruz. nerede "X" sonsuzluğa eğilimlidir.

Örnek: aşağıdaki limiti hesaplayalım.

Çözüm

Hem payda hem de paydadaki ifadeler sonsuzluğa eğilimlidir. Bu durumda çözümün aşağıdaki gibi olacağı varsayılabilir:

Ancak, hepsi o kadar basit değil. Limiti çözmek için aşağıdakileri yapmamız gerekir:

1. bulmak x pay için en yüksek güce (bizim durumumuzda iki).

2. Benzer şekilde, x payda için en yüksek güce (ikiye eşittir).

3. Şimdi hem payı hem de paydayı şuna bölelim: x kıdemli derecede. Bizim durumumuzda, her iki durumda da - ikincisinde, ancak farklıysa, en yüksek dereceyi almalıyız.

4. Ortaya çıkan sonuçta, tüm kesirler sıfır olma eğilimindedir, bu nedenle cevap 1/2'dir.

Belirsizlikle (x belirli bir sayıya yönelir)

Hem pay hem de payda polinomdur, ancak "X" sonsuza değil belirli bir sayıya yönelir.

Bu durumda, paydanın sıfır olduğu gerçeğine şartlı olarak gözlerimizi kapatıyoruz.

Örnek: Aşağıdaki fonksiyonun limitini bulalım.

Çözüm

1. İlk olarak, 1 sayısını fonksiyonda yerine koyalım. "X". Düşündüğümüz formun belirsizliğini elde ederiz.

2. Ardından, pay ve paydayı çarpanlara ayırırız. Bunu yapmak için, eğer uygunlarsa veya kısaltılmış çarpma formüllerini kullanabilirsiniz.

Bizim durumumuzda, paydaki ifadenin kökleri (2x² – 5x + 3 = 0) 1 ve 1,5 sayılarıdır. Bu nedenle, şu şekilde temsil edilebilir: 2(x-1)(x-1,5).

Payda (x–1) başlangıçta basittir.

3. Böyle bir değiştirilmiş limit alıyoruz:

4. Kesir (x–1):

5. Sınırın altında elde edilen ifadede sadece 1 sayısını değiştirmek için kalır: