Karmaşık bir sayının kökünü çıkarma

Bu yayında, karmaşık bir sayının kökünü nasıl alabileceğinize ve bunun diskriminantı sıfırdan küçük olan ikinci dereceden denklemlerin çözümüne nasıl yardımcı olabileceğine bakacağız.

Karmaşık bir sayının kökünü çıkarma

Karekök

Bildiğimiz gibi, negatif bir gerçek sayının kökünü almak imkansızdır. Ancak karmaşık sayılar söz konusu olduğunda bu işlem gerçekleştirilebilir. Anlayalım.

Diyelim ki bir numaramız var z = -9. Için √-9 iki kök vardır:

z₁ = √-9 = -3i

z₁ = √-9 = 3i

Denklemi çözerek elde edilen sonuçları kontrol edelim. z² = -9, bunu unutma i² = -1:

(-3i)² = (-3)² ⋅ ben² = 9 ⋅ (-1) = -9

(3i)² = 3² ⋅ ben² = 9 ⋅ (-1) = -9

Böylece kanıtlamış olduk -3i и 3i kökler √-9.

Negatif bir sayının kökü genellikle şu şekilde yazılır:

√-1 = ± ben

√-4 = ±2i

√-9 = ±3i

√-16 = ±4i vb.

n'nin kuvvetine kök

Diyelim ki bize formun denklemleri verildi z = ⁿ√w… sahip n kökler (z₀, Ve₁, Ve₂,…, z_n-1), aşağıdaki formül kullanılarak hesaplanabilir:

|w| karmaşık sayının modülüdür w;

φ - onun argümanı

k değerleri alan bir parametredir: k = {0, 1, 2,…, n-1}.

Karmaşık köklü ikinci dereceden denklemler

Negatif bir sayının kökünü çıkarmak, olağan uXNUMXbuXNUMXb fikrini değiştirir. Ayrımcı ise (D) sıfırdan küçüktür, o zaman gerçek kökler olamaz, ancak karmaşık sayılar olarak gösterilebilirler.

Örnek E-posta

denklemi çözelim x² – 8x + 20 = 0.

Çözüm

bir = 1, b = -8, c = 20

D = b² – 4ac = 64-80 = -16

D < 0, ancak yine de negatif diskriminantın kökünü alabiliriz:

√D = √-16 = ±4i

Şimdi kökleri hesaplayabiliriz:

x_1,2 = (-b ± √D)/2a = (8 ± 4i)/2 = 4 ± 2i.

Bu nedenle, denklem x² – 8x + 20 = 0 iki karmaşık eşlenik köke sahiptir:

x₁ = 4 + 2i

x₂ = 4 – 2i