Karmaşık bir sayıyı doğal bir güce yükseltmek

Bu yayında, karmaşık bir sayının nasıl bir kuvvete yükseltilebileceğini (De Moivre formülünün kullanılması dahil) ele alacağız. Teorik materyale, daha iyi anlaşılması için örnekler eşlik eder.

Karmaşık bir sayıyı bir güce yükseltmek

İlk olarak, karmaşık bir sayının genel forma sahip olduğunu unutmayın: z = bir + bi (cebirsel form).

Şimdi doğrudan sorunun çözümüne geçebiliriz.

Kare numarası

Dereceyi aynı faktörlerin bir ürünü olarak temsil edebilir ve sonra ürünlerini bulabiliriz (bunu hatırlayarak i² = -1).

z² = (bir + bi)² = (a + bi)(a + bi)

Örnek 1:

z=3+5i

z² = (3 + 5i)² = (3 + 5i)(3 + 5i) = 9 + 15i + 15i + 25i² = -16 + 30i

Toplamın karesini de kullanabilirsiniz:

z² = (bir + bi)² = a² + 2 ⋅ bir ⋅ bi + (bi)² = a² + 2abi – b²

Not: Aynı şekilde gerekirse farkın karesi, toplamın/farkın küpü vb. için formüller elde edilebilir.

N. derece

Karmaşık bir sayı yükseltmek z ayni n trigonometrik biçimde temsil edilirse çok daha kolay.

Genel olarak bir sayının gösteriminin şöyle göründüğünü hatırlayın: z = |z| ⋅ (çünkü φ + ben ⋅ günah φ).

Üs için, kullanabilirsiniz De Moivre'nin formülü (İngiliz matematikçi Abraham de Moivre'nin adını almıştır):

zⁿ = | z |ⁿ ⋅ (cos(nφ) + ben ⋅ günah(nφ))

Formül, trigonometrik biçimde yazılarak elde edilir (modüller çarpılır ve argümanlar eklenir).

Örnek 2

Karmaşık bir sayı yükseltmek z = 2 ⋅ (çünkü 35° + i ⋅ sin 35°) sekizinci dereceye kadar.

Çözüm

z⁸ = 2⁸ ⋅ (cos(8 ⋅ 35°) + i ⋅ sin(8 ⋅ 35°)) = 256 ⋅ (çünkü 280° + i sin 280°).