Bu yayında Gauss yönteminin ne olduğunu, neden gerekli olduğunu ve ilkesinin ne olduğunu ele alacağız. Ayrıca, bir lineer denklem sistemini çözmek için yöntemin nasıl uygulanabileceğini pratik bir örnek kullanarak göstereceğiz.
Gauss yönteminin açıklaması
Gauss yöntemi çözmek için kullanılan değişkenlerin sıralı ortadan kaldırılmasının klasik yöntemidir. Alman matematikçi Carl Friedrich Gauss'un (1777-1885) adını almıştır.
Ama önce, SLAU'nun şunları yapabileceğini hatırlayalım:
- tek bir çözüme sahip olmak;
- sonsuz sayıda çözüme sahip olmak;
- uyumsuz olun, yani çözümleri yok.
pratik faydalar
Gauss yöntemi, kare olmayan sistemlerin yanı sıra üçten fazla doğrusal denklem içeren bir SLAE'yi çözmenin harika bir yoludur.
Gauss yönteminin prensibi
Yöntem aşağıdaki adımları içerir:
- düz – denklem sistemine karşılık gelen artırılmış matris, satırların üstünde üst üçgen (basamaklı) forma indirgenir, yani ana köşegenin altında sadece sıfıra eşit elemanlar olmalıdır.
- Arka – ortaya çıkan matriste, ana köşegenin üzerindeki elemanlar da sıfıra ayarlanır (alt üçgen görünüm).
SLAE çözüm örneği
Aşağıdaki lineer denklem sistemini Gauss yöntemini kullanarak çözelim.
Çözüm
1. Başlangıç olarak, SLAE'yi genişletilmiş bir matris şeklinde sunuyoruz.
2. Şimdi görevimiz ana köşegen altındaki tüm elemanları sıfırlamak. Diğer eylemler belirli matrise bağlıdır, aşağıda bizim durumumuz için geçerli olanları açıklayacağız. İlk olarak, satırları değiştiririz, böylece ilk öğelerini artan düzende yerleştiririz.
3. İkinci satırdan birinciyi iki kez çıkarın ve üçüncüden ilkini üçe katlayın.
4. İkinci satırı üçüncü satıra ekleyin.
5. İkinci satırı ilk satırdan çıkarın ve aynı zamanda üçüncü satırı -10'a bölün.
6. İlk aşama tamamlandı. Şimdi ana köşegenin üzerindeki boş öğeleri almamız gerekiyor. Bunu yapmak için, ilk satırdan üçüncü çarpı 7'yi çıkarın ve üçüncü çarpı 5'i ikinciye ekleyin.
7. Son genişletilmiş matris şöyle görünür:
8. Denklem sistemine karşılık gelir:
Cevap: kök SLAU: x = 2, y = 3, z = 1.