Bu yayında, Öklid geometrisinin ana teoremlerinden birini ele alacağız - bunu ispatlayan İngiliz matematikçi M. Stewart'ın onuruna böyle bir isim alan Stewart teoremi. Sunulan materyali birleştirmek için problem çözme örneğini de ayrıntılı olarak analiz edeceğiz.
Teoremin ifadesi
Dan üçgeni ABC. Onun tarafında AC alınan nokta D, üste bağlı olan B. Aşağıdaki gösterimi kabul ediyoruz:
- AB = bir
- MÖ = b
- BD = p
- reklam = x
- DC = ve
Bu üçgen için eşitlik doğrudur:
Teoremin uygulanması
Stewart teoreminden, bir üçgenin medyanlarını ve bisektörlerini bulmak için formüller türetilebilir:
1. Bisektörün uzunluğu
Let lc bisektör yana çekilmiş mi c, bölümlere ayrılmış x и y. Üçgenin diğer iki tarafını şu şekilde alalım: a и b… Bu durumda:
2. Medyan uzunluk
Let mc medyan yana dönük mü c. Üçgenin diğer iki tarafını şu şekilde gösterelim: a и b… O zamanlar:
Bir sorun örneği
verilen üçgen ABC. Yan tarafta AC 9 cm'ye eşittir, alınan nokta D, hangi tarafı böler ki AD iki kat uzun DC. Köşeyi birleştiren parçanın uzunluğu B ve nokta D, 5 cm'dir. Bu durumda oluşan üçgen ABD ikizkenardır. Üçgenin kalan kenarlarını bulun ABC.
Çözüm
Problemin koşullarını bir çizim şeklinde gösterelim.
AC = AD + DC = 9 cm. AD uzun DC iki kez, yani AD = 2DC.
Sonuç olarak, 2DC + DC = 3DC u9d XNUMX cm. Yani, DC = 3cm, AD = 6 cm.
çünkü üçgen ABD - ikizkenar ve yan AD 6 cm, yani eşitler AB и BDIe AB = 5 cm.
Sadece bulmak için kalır BC, formülü Stewart teoreminden türeterek:
Bilinen değerleri bu ifadeye değiştiriyoruz:
Bu şekilde, BC = √52 Ø 7,21 cm.