Fermat'ın küçük teoremi

Bu yayında, tamsayılar teorisindeki ana teoremlerden birini ele alacağız –  Fermat'ın küçük teoremiFransız matematikçi Pierre de Fermat'ın adını almıştır. Sunulan materyali birleştirmek için problem çözme örneğini de analiz edeceğiz.

Teoremin ifadesi

1. ilk

If p bir asal sayıdır a bölünemeyen bir tamsayıdır psonra a^p-1 - 1 bölünmesiyle p.

Resmi olarak şöyle yazılmıştır: a^p-1 1 XNUMX (karşısında p).

Not: Asal sayı, yalnızca XNUMX ve kendisine kalansız bölünebilen bir doğal sayıdır.

Örneğin:

• a = 2
• p = 5
• a^p-1 - 1 = 2^{5 - 1} - 1 = 2⁴ – 1 = 16 – 1 = 15
• numara 15 bölünmesiyle 5 kalan olmadan.

2. Alternatif

If p bir asal sayıdır, a herhangi bir tamsayı, o zaman a^p karşılaştırılabilir a modülo p.

a^p ≡ bir (karşısında p)

Kanıt bulma tarihi

Pierre de Fermat, teoremi 1640'ta formüle etti, ancak kendisi kanıtlayamadı. Daha sonra bu, Alman filozof, mantıkçı, matematikçi vb. Gottfried Wilhelm Leibniz tarafından yapıldı. Kanıtı 1683'e kadar elinde tuttuğuna inanılıyor, ancak asla yayınlanmadı. Leibniz'in daha önce formüle edilmiş olduğunu bilmeden teoremi kendisinin keşfetmesi kayda değerdir.

Teoremin ilk kanıtı 1736'da yayınlandı ve İsviçreli, Alman, matematikçi ve tamirci Leonhard Euler'e ait. Fermat'ın Küçük Teoremi, Euler teoreminin özel bir durumudur.

Bir sorun örneği

Bir sayının kalanını bulun 2¹² on 12.

Çözüm

bir sayı düşünelim 2¹² as 2⋅2¹¹.

11 bir asal sayıdır, bu nedenle Fermat'ın küçük teoremine göre şunu elde ederiz:

2¹¹ 2 XNUMX (karşısında 11).

Bu nedenle, 2⋅2¹¹ 4 XNUMX (karşısında 11).

yani sayı 2¹² bölünmesiyle 12 eşit kalan ile 4.