Bu yayında, afin geometrinin klasik teoremlerinden birini - İtalyan mühendis Giovanni Ceva'nın onuruna böyle bir isim alan Ceva teoremini ele alacağız. Sunulan materyali birleştirmek için problem çözme örneğini de analiz edeceğiz.
Teoremin ifadesi
verilen üçgen ABC, her bir köşenin karşı taraftaki bir noktaya bağlı olduğu.
Böylece, üç segment elde ederiz (AA', BB' и CC'), denir Cevianlar.
Bu segmentler, ancak ve ancak aşağıdaki eşitlik geçerliyse bir noktada kesişir:
|VE'| |OLUMSUZLUK'| |CB'| = |M.Ö'| |VARDİYA'| |AB'|
Teorem bu formda da sunulabilir (noktaların kenarları hangi oranda böldüğü belirlenir):
Ceva'nın trigonometrik teoremi
Not: tüm köşeler yönlendirilmiştir.
Bir sorun örneği
verilen üçgen ABC noktalarla İLE', B ' и C ' yanlarda BC, AC и AB, sırasıyla. Üçgenin köşeleri verilen noktalara bağlanır ve oluşan parçalar bir noktadan geçer. Aynı zamanda, noktalar İLE' и B ' karşılık gelen karşı tarafların orta noktalarında alınır. Noktanın hangi oranda olduğunu öğrenin C ' tarafı böler AB.
Çözüm
Problemin şartlarına göre bir çizim yapalım. Kolaylık sağlamak için aşağıdaki gösterimi kabul ediyoruz:
- AB' = B'C = bir
- BA' = A'C = b
Sadece Ceva teoremine göre bölümlerin oranını oluşturmak ve kabul edilen gösterimi buna değiştirmek için kalır:
Kesirleri azalttıktan sonra şunu elde ederiz:
Bu nedenle, AC' = C'B, yani nokta C ' tarafı böler AB yarısında.
Bu nedenle, üçgenimizde, segmentler AA', BB' и CC' medyanlar. Problemi çözdükten sonra bir noktada kesiştiklerini kanıtladık (her üçgen için geçerlidir).
Not: Ceva teoremini kullanarak, bir üçgende bir noktada açıortayların veya yüksekliklerin de kesiştiği kanıtlanabilir.